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宿題用の問題です。今学期は提出なしの自主学習です。
本日のメニューは、
２変数関数のグラフとしての曲面とその切り口、ガウス積分。
世の中には数値で表わされるたくさんの量があり、その量が相互に関係しあっています。その関係を記述する基本的な方法に関数の考えがあります。
ということで、関数は必然的に多変数ということになります。では今まで扱ってきたのは何かと言えば、たくさんある変数の一つを選び、それ以外の変数を固定することで、
一変数の関数に注目したものになります。多変数関数は、たくさんの一変数関数の情報を含むのでした。
後期で扱うのは、そうった複数の一変数関数の相互関係をいかに処理するかということ。
まず、多変数関数の変数の動く範囲を変域といいます。これは１変数の場合、区間と思って不自由しないのですが、変数が多くなると格段に複雑になります。 $n=2$ のときは、平面図形、$n=3$ のときは空間図形＝立体、という言い方で馴染みのことと思います。
その具体的かつ大事な例が、上で話題にした曲面と切り口の関係、切り口の面積と体積の関係です。
切り口の面積の積分として体積を求めることは高校でも学びましたが、今回は広義積分を使ったものとして、
ガウス積分の公式を取り上げます。この特殊な広義積分は、データの統計を考える上で基本的な正規分布に深く関わってきます。
宿題での練習をお忘れなく。
また、この機会に、広義積分と無限大のスピード比較を復習しておくことを勧めます。
予習メニュー：
重積分の性質、くりかえし積分。
今日は穏やかに晴れ、御嶽日和か。山は遠きにありて思うばかりのもどかしさ。
重積分の幾何学的な意味は 関数の定義域とグラフで囲まれた立体の体積というものですが、
他にも様々な解釈が成り立つことは一変数の場合と同様です。
一般的には、密度関数の積分が積分範囲における全体量というもので、
空間に広がる物質の質量密度を広がりにわたって積分した結果がその物質の総質量ということになります。
この場合は、二重積分ではなく三重（さんじゅう）積分になるので、幾何学的解釈だと４次元的広がりの４次元的かさ、と思います。
その重積分の具体的な計算で役に立つのが、切り口の面積の積分としての体積を言い換えた、くり返し積分になります。
これを具体例でいくつか確認しておきます。
予習メニュー：
重積分の広義積分。
重積分でも広義積分を考えることができ、くり返し積分の公式が成り立ちます。
ただし、広義積分は絶対収束する場合、すなわち
\[
\int_D |f(x,y)|\, dxdy < \infty
\]
に限定しておきます。関数の符号が入り乱れるときは、そもそも重積分の定義自体が困難で、くり返し積分がくり返す順番によるなどの不都合を引き起こします。
いいかえると、グラフがxy平面の上にある部分が作る立体と下の部分が作る立体の体積がともに有限である場合を考えるということです。
この関数の値が正の場合には、積分の値が $\infty$ になるときも含めて、くり返し積分がくり返しの順番によらないことが非常に
一般的に成り立ちます。
ここで、ガウス積分の計算に使ったくり返し広義積分をもう一度見ておきます。
重積分は、変数の数が多くなっても考えることができ、広くくり返し積分による表示が成り立ちます。
空間の中に電荷がその密度関数 $f(x,y,z)$ にしたがって分布している状況だと、空間内の範囲 $V$ にある電荷の総量が、三重積分
\[
\int_V f(x,y,z)\, dxdydz
\]
で表わされ、それをくり返し積分により計算することができます。
この例に関連して、重積分の密度として、積分対象の関数の値が復元することを最後に観察しておきます。
来週は早くも１回めの試験（約４０分の予定）。授業で取り上げたこと＋宿題の復習を。
宿題の問題の書き間違いを直しておきました。
ついでに、試験範囲の問題に計算のポイントを入れておきました。
試験のためには、教室で話したところを中心に、宿題は難しいと思われるところは省いて構いません。