数学演習

各自、elementary integrationを印刷し、 区切り記号にしたがって学習・発表していただきます。
質問等はメール (yamagami@math.nagoya-u.ac.jp)でお問い合わせください。
成績は、発表ごとに授業日誌への貢献度を判定し、規定回数発表した場合に限り、そのうちの一番良いものを最終成績とします。

授業日誌は毎週更新していきます。古いのが表示されるようでしたら、再読込みしてみて下さい。

４月１２日

Daniell の原論文が、ネットで公開されていました。 １００年以上前に書かれたとは思えぬ現代的かつ明快なものです。
これとほぼ同時期に出版された Caratheodory の本と読み比べてみると、 こちらも今に通用する書き方に驚かされます。
数と集合の話から始まり、p.160 の辺りで Cantor 関数がさり気なく触れられています。 有名な外測度は、p.238 に äußeres Maß として出てきます。

話は変わって、欧米の大学には、honors program とか honors course というのがあって、数学で言えば、実用的な数学に対して理論的なそれを指すようです。
ただしその内容は、場所と人により様々。
実例をお目にかけると、 Honors Calculusとか。 これの積分が関係する章を見ると、そのカバーする内容・程度はこの数学演習のテキストと似たり寄ったりであることが見て取れるでしょう。
ただし、扱っている積分がいわゆるリーマン積分に限定されていて、その不自由さが全体の有用度を縛っているように見えます。
もう一つ今となっては古い本ですが、Jost の Postmodern Analysis (2005) を挙げておきましょう。
これはいろいろな意味で Dieudonne の Foundations of Modern Analysis を意識したもので、 リーマン積分不要論と叙述スタイルを踏襲しつつも、過度の抽象化は避け、微分方程式方面への接続を目指していると言えるでしょうか。
ただ、ブルバキの欠点であった一変数と多変数の積分のつながりの悪さは、そのまま引きずっているように見えます。
それがため、初等積分とルベーグ積分の間のギャップもそのまま抱え込んでいるということでもあり、postmodern になりきれていない印象を与えます。
新しい honors program の積分のあり方の試みの案とでもいうべきテキストとの違いがわかるでしょうか。

４月１９日

初回は、少しずつ時間がオーバーして、最後の人にしわ寄せが。
次からは、時間をオーバーしないように塩梅してください。

(1-1)（山本拓也）、 (1-2)（大橋怜）、 (1-3)、 (1-4)（千葉多聞）。

４月２６日

修正・補充版です。ご参考までに。

(2-1)（重松颯汰）、 (2-2)（小牟礼至高）、 (2-3)、 (2-4)。

レジュメの提供がないのは次の人も困るので、発表後できるだけ速やかに、遅くとも次の週の前日までにしたいと思います。
完璧なものを用意しようとして時間がかかっているのかも知れませんが、それは要求しておりません。
むしろ、どこが分かりにくかったか、どこで詰まったか、あるいはテキストに対する感想なども歓迎します。
知之為知之、不知為不知、是知也ですね。

５月１０日

数学セミナー2022.9の記事である「線型汎関数としての積分」を参考に挙げておきます（希望者に配布予定）。一箇所訂正しないといけないところがあるのですが、わかりますか。

(3-1)（蓮田幹太郎）、 (3-2)（加藤照将）、 (3-3)（針本美優）、 (3-4)（雄谷和佳）。

５月１７日

テキスト (monograph と呼んでおきます）を書いた理由は Introduction に述べてありますが、 皆さんのようにリーマン積分を本格的に学んだ人には、新たな混乱の種であったかと反省。
リーマンというよりはダルブーの与えた定義との関係を本文に入れ、それとリーマンの与えた定義が同じになることは、 付録にでも回すのがよい気がしてきました。
通常、不連続関数も積分できるように拡張したのがリーマンであるといった説明を目にしますが、 リーマンは単調関数が積分できることは述べてあるものの、連続関数が積分できることを（コーシーによる証明の不備を正す形で）最初に証明したのはダルブーでした。
リーマンが積分を定式化した当時は、一様連続性の認識がなかったのでした。 あるいは、連続関数が積分可能であることは、コーシーの定式化で既に終わっているとリーマンは思っていたのかもしれません。
いずれにせよ、monograph では、単調連続性（順序連続性）と単調列近似を全面に出すよう理論的な部分を書き改めました。
これはダニエルの与えた積分とも整合するもので、それの延長としてルベーグ積分がある意味自然に出てくる点を強調してあります。
ついでながら、monograph に載せた具体的な積分については、高木「解析概論」の積分関連をできるだけカバーするようにしてあります。もちろん、全部ではありません。
複素解析が関係するところは除いてありますし、特殊な話題も略してあります。
一方で、木に竹をつないだ感じの９章ルベーグ積分への接続が自然に行くような理論の構成を目指しました。

(4-1)（照屋智基）、 (4-2)（中野友貴）、 (4-3)（庄野真由希）、 (4-4)（仁平晴道）。

５月２４日

本日は、演習の中休み、まとめと補足でした。
あと、メールの宛先の＠を@に変えておきました。これが原因で私宛のメールがエラーになることがあったようです。
５月２５日暫定修正版です。こちらをお使いください。

５月３１日

以下、担当者が決まっているところは * をつけておきました。 ということで、空きがまだたくさんありますので、やってみようという方はご連絡ください。
来週は、(6-3)と(6-4)がまだ空いています。ご連絡待っています。
迷ったら、自分がしんどい方を、ぜひ。

テキストの修正・補充版を更新しました。（日付も入れておきました。2004/6/2） みなさんからのフィード・バックが反映されているので、こちらをご覧いただければと思います。

(5-1)*、 (5-2)（照屋智基）、 (5-3)、 (5-4)（竹内みなみ）。

６月５日

重積分の定義で悩ましいところが、volume integral が well-defined であることの説明。
width integral の繰り返しで実現することで、この部分をやさしい１次元の場合に還元するという手法をテキストでは採用しましたが、 ついでに述べたテンソル積の部分が分かりづらいという指摘がありました。
テンソル積は、ベクトルについての基本的な操作ではあるのですが、どういう方法を取るにせよ、直感的ではなく、慣れるまでが多少の手間でしょうか。
これは、一般的なベクトル空間の場合も扱おうとするとどうも避けられないようですが、ベクトルを関数（関数空間）に限定すると、 比較的直接的な導入が可能です。
そのところの本文での説明が簡単に過ぎたところを補う形で、 付録に Functional Tensor Products の節を追加しておきました。修正・補充版からどうぞ。
こちらをまず読んで、それから本文の重積分のところを見直していただくのが良いかもしれません。

(6-1)（大橋怜）、 (6-2)（千葉多聞）、 (6-3)（小牟礼至高）、 (6-4)（中野友貴）。

６月１４日

諸々を勘案して、9周目以降を軽め、４人から３人にしました。 elementary integration ９周目ー１２周目をご覧ください。 これにより、７月２６日の最終回は「感想」を述べ合う時間にする予定です。

(7-1) Exercise に関連して、$f(t,x)$ が連続かが話題になりましたが、$(x,t)$ の代わりに $x$ と $y = 0\vee(1+t/\sqrt{x})$ を変数に使うと、 $f(t,x) = y^x e^{x-xy}$ と表わされるので、$y^x$ が $x>0$, $y \geq 0$ で連続であることからわかります。

ダニエルがスペインに行っちゃったという歌 Danielがありました。

(7-1)（重松颯汰）、 (7-2)（庄野真由希）、 (7-3)、 (7-4)。

６月２１日

章立てを変えて、ヤコビアン公式にあった開集合による切り取りに関する命題を新５章に移し、不十分だった証明を丁寧なものにしました。
来週くらいに、この新しいもので置き換えますが、発表の区分けは先週の資料のままとします。ご注意ください。

(8-1)（仁平晴道）、 (8-2)（雄谷和佳）、 (8-3)、 (8-4)（針本美優）。

６月２８日

今週の授業時に、１０ー１２週の割当を決めます。予め該当箇所にざっとでも目を通しておいてください。
１０−１２周の担当者を、レジュメ提出者を中心に割り当ててみました。 具合が悪ければ調整しますので、お知らせください。

少し先の内容ですが、収束定理が使えると、Jacobian formula の証明も大分楽になります。
また Daniell extension については、transfer principle が容易にわかるので、積分等式の拡張がこれも楽に示されます。
例えば、新井 仁之先生による動画と比べてみると、実感できるでしょうか。

(9-1)*（加藤）、 (9-2)、 (9-3)*（山本）。

７月５日

Dirichlet 積分を計算する例で、可積分かどうか怪しいと寝ぼけたことを言ってしまいましたが、 \[ \int_0^\infty dx\, \sin x \int_r^\infty e^{-xy}\,dy = \int_0^\infty e^{-rx} (\sin(x))/x\, dx \] で、右辺の積分が $\int_0^\infty e^{-rx}\,dx = 1/r$ で抑えられるのでした。
ということで淡々と計算すれば欲しい式が出てきます。

(10-1)（照屋）、 (10-2)（加藤）、 (10-3)（中野）。

７月１２日

雨のせいもあるのか、参加者が急減しました。そもそもの授業形態に無理があったのかも知れませんが、 必要最低限のことは連絡して欲しいところ、無視は最大の非礼にあたります。
可測集合を変数変換で移したものも可測集合であることの証明が少しおかしかったので修正しておきました。

(11-1)（重松）、 (11-2)、 (11-3)（仁平）。

７月１９日

セミは元気に暑さ知らず。いよいよ炎暑の到来。

(12-1)、 (12-2)（小牟礼）、 (12-3)（千葉）。

７月２６日

梅雨明け十日、猛暑は続く。

(5-3)（田中健太）。
他は、この授業についての感想とか質問の時間になります。
発表はしたもののレジュメを出していない方は、急ぎご提出ください。

これまでの修正を施した モノグラフです。
付録には、数学セミナーに書いた内容を反映させておきました。リーマン和とダルブー近似の variation の変化をダニエル近似と対比させてあります。
不思議なことにこれについて書いてある文献はないような。

それでは、はかなき夢を夏の月に。

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